1、一般说来，根据银行的规定小额的欠款在持卡人死亡之后，会终止其账户，一般情况下银行不再追究。但是如果数额较大的话，且有可执行的遗产，那么银行，会通过拍卖等方式获取资金，用于偿还所欠的债务。
2、继承遗产应当清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务，缴纳税款和清偿债务以他的遗产实际价值为限。超过遗产实际价值部分，继承人自愿偿还的不在此限。继承人放弃继承的，对被继承人依法应当缴纳的税款和债务可以不负偿还责任。
3、被继承人的债务是指被继承人个人生前依法应该缴纳的税款、罚金以及应由他个人偿还的合法的财产性债务。

法律依据

《民法典》

第一千一百五十九条 分割遗产，应当清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务;但是，应当为缺乏劳动能力又没有生活来源的继承人保留必要的遗产。